Учимся считать. Фрагмент из книги Майкла Брукса "Искусство большего"
В январе 2024 года в издательстве Corpus выйдет книга Майкла Брукса — британского автора научно-популярных книг, имеющего степень в сфере квантовой физики. Книга "Искусство большего. Как математика создала цивилизацию" увлекательно и доступно рассказывает историю математики и предлагает по достоинству оценить ее важную роль в развитии человечества.
Публикуем в блоге фрагмент из книги.
Польза дробей
Если оценивать названия книг, то "Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей" — это отпад. По названию можно подумать, что это книга из сырого подвала какой‑нибудь лавки колдовских товаров, в которой объясняется, как призывать духов для осуществления всяческих козней. Но это не так. На самом деле это древнеегипетский учебник математики.
На Западе он более известен как папирус Ринда — по фамилии шотландского юриста, который около 1858 года приобрел его в Фивах. Большая часть рукописи (длина всего документа составляет 5,5 метра) хранится в Британском музее в Лондоне. Остаток — в Бруклинском музее в Нью-Йорке. Она была создана древнеегипетским писцом Ахмесом около 3,5 тысячи лет назад. Ахмес (имя которого значит "рожденный на луне") скопировал тысячелетний текст с описанием математических приемов, применявшихся древнеегипетскими жрецами.
Древнеегипетское царство зависело от расчетов, связанных с ежегодным разливом Нила. Инженеры снимали показания глубиномеров и сообщали об изменениях уровня воды. Жрецы-астрономы вели календари, чтобы египтяне могли подготовиться ко дню гелиакического восхода Сириуса — моменту, когда звезда оказывалась достаточно далеко от Солнца относительно Земли, чтобы снова появиться на земном небосводе. В этот день заканчивалась подготовка к очистке каналов и ремонту стоков.
Благодаря расчетам египтяне прекрасно справлялись с тем, чтобы направлять разливающиеся воды Нила в каналы и на сельскохозяйственные угодья, где плодородные наносы оседали на земле. Как только вода уходила в землю или возвращалась по каналам обратно в основное русло реки, начинался новый земледельческий сезон, но сначала происходили разделы и перераспределения угодий.
При разливе вода смывала все границы и межевые отметки, поэтому писцам приходилось записывать, сколько земли домохозяйства обрабатывали в прошлом году. После этого администраторы выделяли им эквивалентный участок только что удобренной земли, площадь которого определяли с помощью действий, которые мы сегодня сочли бы примитивной арифметикой. Они, вероятно, были довольно примитивны и для древних египтян, но явно считались достаточно важными, поскольку писцы регулярно копировали ветшающие документы с описанием процесса.
Значительная часть папируса Ринда, по сути, представляет собой введение в науку о дробях. Возможно, вы удивитесь, узнав, что дроби изобрели не чтобы пытать школьников, а чтобы управлять экономикой. Цивилизации, которой нужно было знать, сколько зерна содержится в цилиндрическом хранилище, и выполнять волю правительства при разделе земли, распределении продовольствия и оплате труда, целых чисел — тех, что нам уже знакомы, — было недостаточно.
С помощью целых чисел наш мозг соотносит объекты окружающей среды с абстрактными понятиями "единицы", "двойки" и так далее, и именно ими мы оперируем, когда считаем на пальцах (которые, если нам повезло, существуют также в виртуальной форме у нас в голове). Дроби — дело другое. Это способ делить целые числа, сравнивая одно с другим. И возни с ними немало: идея о том, что целые числа делятся на части, — ужасающий скачок вперед для мозга, который не был приспособлен в рамках эволюции представлять такие вещи.
Если в школе дроби вам никак не давались, вы совсем не одиноки. Хорошую компанию вам, например, составил бы Леонардо да Винчи. Несмотря на свои великие достижения в искусстве, инженерии и астрономии, он совершенно не умел работать с дробями15. Его записи показывают, что он ошибался всякий раз, когда ему приходилось перемножать их или делить. Так, он просто не мог поверить, что частное при делении на дробь величиной меньше единицы (например, на 2/3) оказывается больше делимого.
Да Винчи, несомненно, пришлось бы туго в вашей школе. По программе американские школьники должны овладеть дробями к 12–13 годам и научиться, например, расставлять по возрастанию дроби 1/2, 5/9 и 2/7. А вам такое по плечу? Большинству 12- и 13‑летних школьников это не под силу. Вот другой пример: какое из чисел — 1, 2, 19 или 21 — ближе к сумме 12/13 и 7/8? Три четверти 12- и 13‑летних американских школьников дают неверный ответ. Самая распространенная ошибка — складывать числители и знаменатели (верхние и нижние числа) по отдельности, то есть обращаться с ними как с натуральными числами. Удивляться здесь нечему, ведь именно этому вас и учили до сих пор. Вместо этого вам нужно либо давать этим числам приблизительную оценку (и 12/13, и 7/8 близки к 1, поэтому их сумма будет близка к 2), либо приводить дроби к общему знаменателю и затем складывать друг с другом скорректированные числители. Стоит задуматься об этом, как дроби сразу кажутся чем‑то жутким и беспощадным. Мы уже знаем, что умение работать с натуральными числами далось человечеству большими стараниями, но в случае с дробями все эти навыки приходится отправлять на помойку.
Сколько бы сложностей с ними ни возникало, цивилизация за цивилизацией понимала, что дроби стоят того, чтобы над ними попотеть. Вавилоняне осознали это первыми, около 2000 года до нашей эры, а за ними последовали древние египтяне, индусы, греки и китайцы. А это значит, если я не ошибся в расчетах, что вид, который живет на Земле уже 300 тысяч лет, применяет дроби (по очень грубой оценке) на протяжении лишь последней сотой части своего существования. Если вы еще не убедились в том, что даже в базовой математике нет ничего естественного и безусловного, то вот вам доказательство.
Дело в том, что ведение учета невозможно без двух других математических инноваций: отрицательных чисел и понятия нуля. И хотя сегодня они общеприняты и кажутся простыми, обе идеи поначалу вызывали споры, а потому сегодняшнее положение они смогли занять лишь через несколько сотен лет после своего появления.